Exercice géant — Dérivation et étude des fonctions (Section unique)

Mathématiques 2^ème BAC — Sciences de la Vie et de la Terre (BIOF) — Programme marocain

Exercice A — Quotient totalement simplifiable

Soit \( f(x) = \dfrac{x^3 – x}{x^2 – 1} \), définie pour \( x \ne \pm 1 \).

A1. Simplifier \( f(x) \) pour \( x\ne \pm1 \), puis donner \( f'(x) \).

\( f'(x)=1 \) \( f'(x)=\dfrac{(3x^2-1)(x^2-1)-(x^3-x)\cdot2x}{(x^2-1)^2} \) \( f'(x)=x \)

A2. En \( x=1 \), pour la fonction initiale :

La dérivée n’existe pas \( f'(1)=1 \) \( f'(1)=0 \)

A3. Pour \( x>1 \), le signe de \( f'(x) \) est :

positif négatif nul

A4. Intervalle(s) de croissance de \( f \) :

\( (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty) \) \( (-\infty,0) \) \( (0,+\infty) \)

Exercice B — Rapport log / puissance

Soit \( f(x) = \dfrac{\ln x}{x^2} \) définie pour \( x>0 \).

B1. Calculer \( f'(x) \).

\( f'(x) = \dfrac{1-2\ln x}{x^3} \) \( f'(x) = \dfrac{\ln x – 2}{x^2} \) \( f'(x) = \dfrac{1}{x^2} \)

B2. Étudier \( \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) \).

\( -\infty \) \( 0 \) \( +\infty \)

B3. Monotonie :

Croît sur \( (0,\sqrt{e}) \), décroît sur \( (\sqrt{e},+\infty) \) Décroît sur \( (0,\sqrt{e}) \), croît sur \( (\sqrt{e},+\infty) \) Décroît sur \( (0,+\infty) \)

B4. \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f'(x) \) vaut :

\( 0 \) \( 1 \) \( +\infty \)

Exercice C — Extremums d’un polynôme du 3ème degré

Soit \( f(x) = x^3 – 3x^2 + 2 \) définie sur \( \mathbb{R} \).

C1. Calculer \( f'(x) \).

\( f'(x) = 3x^2 – 6x \) \( f'(x) = 3x^2 – 3 \) \( f'(x) = 6x – 6 \)

C2. Résoudre \( f'(x)=0 \).

\( x=0 \) et \( x=2 \) \( x=1 \) (double) \( x=-1 \) et \( x=3 \)

C3. Nature des points critiques :

Maximum local en \( x=0 \), minimum local en \( x=2 \) Minimum local en \( x=0 \), maximum local en \( x=2 \) Deux points de flexion

C4. Calculer \( f(0) \) et \( f(2) \).

\( f(0)=2 \) et \( f(2)=-2 \) \( f(0)=-2 \) et \( f(2)=2 \) \( f(0)=0 \) et \( f(2)=0 \)

Exercice D — Concavité : \( f(x)=x\,e^{-x} \)

Domaine : \( \mathbb{R} \).

D1. Donner \( f'(x) \) puis \( f”(x) \).

\( f'(x)=e^{-x}(1-x) \), \( f”(x)=e^{-x}(x-2) \) \( f'(x)=e^{-x}(x+1) \), \( f”(x)=e^{-x}(x+2) \) \( f'(x)=1-x \), \( f”(x)=x-2 \)

D2. La concavité de \( f \) :

Convexe pour \( x>2 \), concave pour \( x<2 \) (changement à \( x=2 \)) Toujours convexe Toujours concave

D3. Quand \( x\to +\infty \), le comportement de \( f(x) \) est :

\( f(x)\to 0 \) \( f(x)\to +\infty \) \( f(x)\to -\infty \)

Contrôle global

Corrigé détaillé (Séries A → D)

Série A — Quotient simplifiable

A1. Factoriser : \( x^3-x=x(x-1)(x+1) \), \( x^2-1=(x-1)(x+1) \). Pour \( x\ne\pm1 \), \( f(x)=x \) donc \( f'(x)=1 \). Réponse : 1.

A2. La fonction d’origine n’est pas définie en \( \pm1 \) (trous) \(\Rightarrow\) \( f’ \) n’existe pas en \( x=1 \). Le prolongement \(\tilde f(x)=x\) aurait \( \tilde f'(1)=1 \). Réponse : la dérivée n’existe pas.

A3. \( f'(x)=1>0 \) donc positive pour tout \( x\ne\pm1 \). Réponse : positif.

A4. Croissance sur chaque intervalle de définition : (-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,+\infty).

Série B — \(\ln x / x^2\)

B1. \( f'(x)=\dfrac{(1/x)\cdot x^2 – (\ln x)\cdot 2x}{x^4}=\dfrac{x-2x\ln x}{x^4}=\dfrac{1-2\ln x}{x^3} \). Réponse : \tfrac{1-2\ln x}{x^3}.

B2. \( \ln x\to -\infty \) et \( x^2\to 0^+ \) \(\Rightarrow f(x)=\dfrac{\ln x}{x^2}\to -\infty \). Réponse : -\infty.

B3. Signe de \( f'(x) \) via \( 1-2\ln x \). Nul pour \( x=\sqrt{e} \). Donc \( f \) croît sur \( (0,\sqrt{e}) \) puis décroît sur \( (\sqrt{e},+\infty) \). Réponse : Croît puis décroît.

B4. \( f'(x)=\dfrac{1-2\ln x}{x^3}\to 0 \) (le dénominateur domine). Réponse : 0.

Série C — Extremums

C1. \( f'(x)=3x^2-6x=3x(x-2) \). Réponse : 3x^2-6x.

C2. Zéros : \( x=0 \) et \( x=2 \). Réponse : 0 \text{ et } 2.

C3. \( f”(x)=6x-6 \). \( f”(0)=-6<0 \Rightarrow \) maximum local en 0. \( f''(2)=6>0 \Rightarrow \) minimum local en 2. Réponse : max en 0, min en 2.

C4. \( f(0)=2 \). \( f(2)=8-12+2=-2 \). Réponse : 2 et -2.

Série D — Concavité de \( x e^{-x} \)

D1. Produit : \( f'(x)=(1)\cdot e^{-x} + x\cdot(-e^{-x})=e^{-x}(1-x) \). Puis \( f”(x)= -e^{-x}(1-x) + e^{-x}(-1)= e^{-x}(x-2) \). Réponse : f'(x)=e^{-x}(1-x),\; f”(x)=e^{-x}(x-2).

D2. Signe de \( f” \) : même signe que \( x-2 \). Donc concave pour \( x<2 \), convexe pour \( x>2 \) (changement à 2). Réponse : concavité change, convexe pour x>2.

D3. \( f(x)=x e^{-x}\to 0 \) (exponentielle domine le polynôme). Réponse : 0.