Exercice géant — Dérivation et étude des fonctions (Section unique)
Mathématiques 2ème BAC — Sciences de la Vie et de la Terre (BIOF) — Programme marocain
Exercice A — Discontinuité réparable & monotonie
A1. Simplifier \( f(x) \) pour \( x\ne 2 \), puis donner \( f'(x) \).
A2. À propos de la dérivabilité en \( x=2 \) pour la fonction initiale :
A3. Pour \( x>2 \), le signe de \( f'(x) \) est :
A4. Intervalle(s) de croissance de \( f \) :
Exercice B — Produit avec logarithme
B1. Calculer \( f'(x) \).
B2. \( \displaystyle\lim_{x\to 0^+} f(x) \) vaut :
B3. La fonction est :
B4. \( \displaystyle\lim_{x\to +\infty} f'(x) \) vaut :
Exercice C — Extremums d’un polynôme
C1. Calculer \( f'(x) \).
C2. Résoudre \( f'(x)=0 \).
C3. Nature des points critiques :
C4. Calculer \( f(-2) \) et \( f(2) \).
Exercice D — Concavité : \( f(x)=\ln(1+x) + e^{-x} \)
D1. Donner \( f'(x) \) puis \( f”(x) \).
D2. La concavité de \( f \) :
D3. Quand \( x\to +\infty \), le comportement de \( f(x) \) est :
Contrôle global
Corrigé détaillé (Séries A → D)
Série A — Discontinuité réparable
A1. Factoriser : \( x^2-5x+6=(x-2)(x-3) \). Pour \( x\ne2 \), \( f(x)=x-3 \). Donc \( f'(x)=1 \). Réponse : 1.
A2. La fonction d’origine n’est pas définie en 2 (trou) \(\Rightarrow\) \( f’ \) n’existe pas en 2. (Le prolongement \(\tilde f(x)=x-3\) aurait \(\tilde f'(2)=1\).) Réponse : la dérivée n’existe pas.
A3. \( f'(x)=1>0 \) donc positive pour tout \( x\ne2 \). Réponse : positif.
A4. Croissante partout sur \( \mathbb{R}\\\{2\} \). Réponse : (-\infty,2)\cup(2,+\infty).
Série B — \(x^2\ln x – 3x + 2\)
B1. \( (x^2\ln x)’ = 2x\ln x + x \). Donc \( f'(x)=2x\ln x + x – 3 \). Réponse : 2x\ln x + x – 3.
B2. \( x^2\ln x \to 0 \) quand \( x\to0^+ \), \( -3x\to0 \), donc \( f(x)\to 2 \). Réponse : 2.
B3. \( f'(1)=-2<0 \) et \( f'(e)=3e-3>0 \). Comme \( f”(x)=2\ln x + 3 \) devient positif à partir de \( x>e^{-3/2} \), \( f’ \) croît et s’annule une fois ; ainsi \( f \) est croissante pour les grands \( x \), en particulier pour \( x\ge e \). Réponse : «Croissante pour \( x\ge e \)».
B4. Pour \( x\to +\infty \), \( 2x\ln x \) domine \( \Rightarrow f'(x)\to +\infty \). Réponse : +\infty.
Série C — Extremums
C1. \( f'(x)=3x^2-12=3(x-2)(x+2) \). Réponse : 3x^2-12.
C2. \( f'(x)=0 \iff x\in\{-2,2\} \). Réponse : -2 \text{ et } 2.
C3. \( f”(x)=6x \). \( f”(-2)=-12<0 \Rightarrow \) maximum local en \(-2\). \( f''(2)=12>0 \Rightarrow \) minimum local en 2. Réponse : max en -2, min en 2.
C4. \( f(-2)=-8+24+16=32 \) et \( f(2)=8-24+16=0 \). Réponse : 32 et 0.
Série D — Concavité
D1. \( (\ln(1+x))’ = \tfrac{1}{1+x} \) et \( (e^{-x})’=-e^{-x} \). Donc \( f'(x)=\tfrac{1}{1+x}-e^{-x} \) et \( f”(x)= e^{-x} – \tfrac{1}{(1+x)^2} \). Réponse : f'(x)=\tfrac{1}{1+x}-e^{-x},\; f”(x)= e^{-x}-\tfrac{1}{(1+x)^2}.
D2. Le signe de \( f” \) change lorsque \( e^{-x} = 1/(1+x)^2 \). Il existe donc au moins un point d’inflexion (unique par monotonicité des deux membres). Réponse : concavité variable.
D3. \( \ln(1+x)\to +\infty \) et \( e^{-x}\to 0 \) \(\Rightarrow f(x)\to +\infty \). Réponse : +\infty.