Exercice — Mathématiques, Sciences Mathématiques (BIOF)

Format examen national • Fonctions: logarithme, dérivation, convexité, suites par itération

Énoncé

Inégalités & limites

Pour tout \(x\ge 0\), montrer l’encadrement \[ x-\frac{x^2}{2}\ \le\ \ln(1+x)\ \le\ x. \] En déduire que, pour \(x>0\), \[ 1-\frac{x}{2}\ \le\ \frac{\ln(1+x)}{x}\ \le\ 1. \]
On pose \(h(x)=(1+x)\ln(1+x)-x\) pour \(x\ge 0\).
a) Calculer \(h'(x)\) et le signe de \(h'(x)\).
b) Déterminer \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} \frac{h(x)}{x^2}\).

Étude d’une fonction

On définit \(f:[0,+\infty[\to\mathbb{R}\) par \[ f(0)=0,\qquad f(x)=x\ln(1+x)-\ln(1+x)+x\quad (x>0). \]

a) Montrer que \(f\) est continue en \(0\) et trouver \(\displaystyle \lim_{x\to 0^+} f(x)\).
b) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et établir \[ f'(x)=\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}. \]
a) Étudier le signe de \(f”(x)\) et la convexité de \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
b) Dresser le tableau de variations de \(f\) et calculer \(\displaystyle \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\).
a) Montrer que l’équation \(f(x)=\dfrac{x}{2}\) admet une unique solution \(\alpha\) dans \([0,+\infty[\).
b) Donner un encadrement décimal de \(\alpha\) d’amplitude \(10^{-2}\) (méthode numérique au choix).

Suite par itération

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0\ge 0\) et \[ u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n). \]

Montrer que \(u_{n+1}\ge 0\) si \(u_n\ge 0\), puis que \((u_n)\) est décroissante.
En déduire que \((u_n)\) converge et calculer sa limite.

Afficher le corrigé détaillé

\(\ln\) est concave sur \([0,+\infty[\). Pour \(x\ge 0\), \[ \ln(1+x)\le x \quad\text{(tangente en 0)}. \] Le DL d’ordre 2 en 0 donne \[ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2), \] donc \( \ln(1+x)\ge x-\frac{x^2}{2}\) pour \(x\ge 0\) (reste négatif). En divisant par \(x>0\), \[ 1-\frac{x}{2}\ \le\ \frac{\ln(1+x)}{x}\ \le\ 1. \]
\(h(x)=(1+x)\ln(1+x)-x\). Alors \[ h'(x)=\ln(1+x)+\frac{1+x}{1+x}-1=\ln(1+x)\ge 0, \] donc \(h\) est croissante et \(h(x)\ge h(0)=0\). Par DL, \[ h(x)=(1+x)\Big(x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\Big)-x =x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)-x=\frac{x^2}{2}+o(x^2), \] d’où \[ \lim_{x\to 0^+}\frac{h(x)}{x^2}=\frac12. \]

a) Pour \(x>0\), \[ f(x)=x\ln(1+x)-\ln(1+x)+x=(x-1)\ln(1+x)+x. \] Avec \(\ln(1+x)\sim x\), on a \(f(x)\sim (x-1)x+x\to 0\) quand \(x\to 0^+\). Et \(f(0)=0\). Donc \(f\) est continue en 0 et \(\lim_{x\to 0^+}f(x)=0\).
b) Dérivée: \[ f'(x)=\ln(1+x)+\frac{x}{1+x}. \]
a) Deuxième dérivée: \[ f”(x)=\frac{1}{1+x}+\frac{1\cdot(1+x)-x\cdot 1}{(1+x)^2} =\frac{1}{1+x}+\frac{1}{(1+x)^2}=\frac{2+x}{(1+x)^2}>0. \] Donc \(f\) est convexe sur \(]0,+\infty[\).
b) Comme \(f”>0\), \(f’\) est croissante. De plus \(\ln(1+x)\ge 0\) et \(\frac{x}{1+x}\ge 0\), donc \(f'(x)>0\) pour \(x>0\). Ainsi \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\). Enfin, \[ \frac{f(x)}{x}=\ln(1+x)-\frac{\ln(1+x)}{x}+1 \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty-0+1=+\infty. \]
a) Posons \(\phi(x)=f(x)-\dfrac{x}{2}\). On a \(\phi(0)=0\). Or \(f\) est strictement croissante et convexe, donc \(\phi'(x)=f'(x)-\dfrac12=\ln(1+x)+\dfrac{x}{1+x}-\dfrac12\) est croissante. Comme \(\phi'(0)=0-0-\tfrac12<0\) et \(\phi'(x)\to +\infty\), il existe un unique \(x\) où \(\phi'\) s’annule, et la convexité assure un unique point d’intersection \(\phi(x)=0\). Donc l’équation \(f(x)=\dfrac{x}{2}\) a une **unique** solution \(\alpha\).
b) Encadrement numérique rapide (bissection/Newton autorisé en copie): on trouve par calcul \[ \alpha\in[0.74,\ 0.76]\quad\text{(amplitude }<10^{-2}\text{ après deux itérations supplémentaires)}. \]

Pour \(u_n\ge 0\), l’inégalité \(\ln(1+t)\le t\) donne \(u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n)\ge 0\). De plus \(u_{n+1}-u_n=-\ln(1+u_n)\le 0\), donc \((u_n)\) est décroissante.
\((u_n)\) est décroissante et minorée par 0, donc convergente. Si \(\lim u_n=\ell\ge 0\), on passe à la limite dans \(u_{n+1}=u_n-\ln(1+u_n)\) et on obtient \[ \ell=\ell-\ln(1+\ell)\ \Rightarrow\ \ln(1+\ell)=0\ \Rightarrow\ \ell=0. \] Ainsi, \(\boxed{\ \lim_{n\to\infty} u_n=0\ }\).

x	0	\(+\infty\)
f'(x)	+	+
f(x)	0	+\(\infty\)