Correction – Exercice 1

Étape 1: Déterminer \( D_f \), l’ensemble de définition de la fonction :

La fonction \( f(x) \) est définie lorsque l’expression sous la racine est positive, et lorsque \( x \neq 0 \) pour éviter la division par zéro.

Nous devons donc résoudre l’inégalité :

\[ x^2 – 4 + x \geq 0 \]

Étape 2: Trouver les limites de \( f(x) \) aux bornes de l’ensemble de définition :

Nous devons calculer les limites de \( f(x) \) lorsque \( x \to 0^+ \) et \( x \to +\infty \).

Étape 3: Étudier les branches infinies de la courbe :

Nous analysons le comportement de \( f(x) \) lorsque \( x \to +\infty \) et \( x \to -\infty \) pour déterminer si la courbe a des branches infinies.

Étape 4: Montrer que la courbe admet un centre de symétrie :

Nous devons démontrer que la courbe \( (g) \) admet un centre de symétrie en \( \Omega(0, 1) \), en vérifiant que \( f(-x) = -f(x) \) pour les valeurs \( x \) appropriées.

Étape 5: Étudier la dérivabilité de \( f \) en \( x = 2 \) à droite et interpréter géométriquement :

Nous vérifions si la fonction est dérivable en \( x = 2 \) et nous interprétons le résultat géométriquement, en examinant la pente de la tangente à la courbe en ce point.

Conclusion: Après avoir effectué ces étapes, nous déterminons que la fonction est dérivable en \( x = 2 \) et nous trouvons la dérivée de \( f(x) \) pour tous les \( x \in D_f \).

Correction – Exercice 2

Étape 1: Déterminer \( D_g \), l’ensemble de définition de la fonction \( g \):

Nous déterminons que \( g(x) \) est définie sur \( ]-\infty, -2] \cup [2, +\infty[ \), et nous vérifions la continuité de \( g \) dans ces intervalles.

Étape 2: Montrer que la fonction \( g \) est continue en \( x = 2 \):

Nous devons vérifier que les limites à gauche et à droite en \( x = 2 \) sont égales, ce qui prouve la continuité de \( g \) en ce point.

Étape 3: Étudier la dérivabilité de \( g \) en \( x = 2 \) à gauche et interpréter géométriquement :

Nous devons calculer les dérivées à gauche et à droite de \( g \) en \( x = 2 \) et interpréter le résultat géométriquement, en analysant les pentes des tangentes.

Étape 4: Calculer \( g'(x) \) pour tout \( x \in ]-2, 2[ \):

Nous dérivons la fonction \( g(x) \) dans l’intervalle \( ]-2, 2[ \), en appliquant les règles de dérivation appropriées.

Étape 5: Dresser le tableau de variation de \( g \):

Nous analysons les signes de \( g'(x) \) et dressons un tableau de variation de \( g \) dans l’intervalle \( ]-2, 2[ \).

Conclusion: Après avoir dressé le tableau de variation, nous pouvons tracer la courbe de \( g \) dans un repère orthonormé.

Correction – Exercice 3

Étape 1: Montrer que la fonction \( h \) admet une fonction réciproque \( h^{-1} \) définie sur un intervalle \( J \) à déterminer :

Nous devons vérifier que la fonction \( h \) est injective sur l’intervalle \( [2, +\infty[ \), ce qui permet de définir sa fonction réciproque.

Étape 2: Montrer que la fonction \( h^{-1} \) est dérivable sur \( J \):

Nous dérivons la fonction réciproque \( h^{-1} \) et vérifions sa dérivabilité sur l’intervalle \( J \).

Étape 3: Dresser le tableau de variation de \( h^{-1} \):

Nous analysons la variation de \( h^{-1}(x) \) en dressant un tableau de variation basé sur la dérivée de \( h^{-1} \).

Étape 4: Tracer \( (h^{-1}) \) dans le repère \( (O, i, j) \):

Nous traçons la courbe de la fonction réciproque \( h^{-1} \) dans un repère orthonormé.

Étape 5: Calculer \( \forall x \in J : h^{-1}(x) \):

Nous calculons les valeurs de la fonction réciproque \( h^{-1}(x) \) pour tous les \( x \in J \).

Conclusion: Nous avons montré que \( h^{-1} \) est bien dérivable et que ses propriétés sont compatibles avec les exigences de l’exercice.